Profesionalnu karijeru Bulat je počeo u rodnom Šibeniku čiji je dres nosio od 2017. do 2021. godine. Potom je prešao u Dinamo za koji je ukupno skupio 87 nastupa i pritom je postigao osam pogodak i ostvario deset asistencija.

Prošle sezone kao posuđeni je igrač nastupao za belgijski Standard iz Liegea, kojeg je vodio hrvatski strateg Ivan Leko, ali se vratio u Dinamo po završetku sezonu. Sa zagrebačkim klubom je prošao kompletne ljetne pripreme i prijateljske oglede, ali početak sezone nije dočekao.

Nastavlja Bulat svoju karijeru u poljskom prvoligašu Rakowu s kojim je potpisao petogodišnji ugovor, a dosad je u karijeri igrao za sve reprezentativne uzraste Hrvatske, zaključno s U21 momčadi.